Физический энциклопедический словарь - матрица плотности

397

строки и столбцы к-рой нумеруются индексами mn, отвечающими полному набору квант. чисел, описывающих состояние системы, а её диагональные элементы mn определяют вероятности соответствующих состояний.

М. п. в квант. статистич. механике играет такую же роль, как ф-ция распределения в классич. статистич. механике.

В квант. механике состояние системы описывается волн. ф-цией (x), соответствующей максимально полному набору данных о системе; такое состояние наз. ч и с т ы м с о с т о я н и е м. Ср. значение любой физ. величины Ã, представляемой оператором Â , в состоянии, описываемом волн. ф-цией (х), равно: Ã=∫*(x)Â(x)dx, где интегрирование проводится по координатам всех ч-ц (для ч-ц со спином проводится, кроме того, суммирование по возможным значениям спина; * — величина, комплексно сопряжённая ). Вся квант. механика, за исключением нек-рых вопросов теории измерений, имеет дело с чистыми состояниями. В квант. статистич. механике состояние системы нельзя описать волн. ф-цией из-за отсутствия полной (максимально возможной) информации о квант.-механич. системе. Состояние, не основанное на полном (в смысле квант. механики) наборе данных о системе, в отличие от чистого наз. смешанным состоянием, или смесью состояний; такое состояние описывается М. п. mn. Ср. значение любой физ. величины A , к-рой соответствует оператор Â, а в представлении квант. чисел m и n соответствует матрица Аnm, равно:

Ã=m,n mnАnm. Это усреднение включает как усреднение, связанное с вероятностным хар-ром квант. описания, так и статистич. усреднение, обусловленное неполнотой сведений о рассматриваемой системе, но эти операции не могут быть отделены друг от друга.

В частном случае М. п. может зависеть от координат ч-ц: (х, х'), где х означает совокупность координат ч-ц x1, x2, ..., xn, а х' —совокупность x'1, х'2, ..., x'n (N — число ч-ц в системе), т. е. координаты ч-ц играют роль матричных индексов М. п. В координатном представлении М. п. связана с mn соотношением (х, х') =m,n *n(x')m(x). В этом представлении диагональные элементы М. п.

(х, х) определяют плотность вероятности в состоянии х. Для ч-ц со спином надо учитывать, кроме xi, также спиновые переменные. В Бозе — Эйнштейна статистике М.п. симметрична относительно перестановок х1, х2,..., xn (или штрихованных переменных). Для ч-ц со спином вместе с координатами следует переставлять и спины.

В Ферми — Дирака статистике М.п. антисимметрична.

В теории физ. измерений применение М. п. связано с тем, что квант. система, находящаяся до измерения в чистом состоянии, после измерения (в результате вз-ствия с измерит. прибором) будет находиться уже в смешанном состоянии.

М. п. удовлетворяет квант. ур-нию Лиувилля (или уравнению Неймана), к-рое определяет закон эволюции М. п. во времени и служит основой для неравновесной статистич. механики. Это ур-ние позволяет вычислить реакцию статистич. системы, находящейся в статистич. равновесии, на внешние возмущения (напр., на включение электрич. или магн. поля), а также построить статистич. операторы для систем, находящихся в неравновесном состоянии, когда имеются потоки частиц, энергии или импульса.

• X и л л Т., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1960, §9; Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Статистическая физика, 3 изд., ч. 1, М., 1976, §5; Боголюбов Н. Н., Лекции по квантовой статистике, в его кн.: Избр. труды, т. 2, К., 1970, раздел 1, § 1; 3 у б а р е в Д. Н., Неравновесная статистическая термодинамика, М., 1971, § 7.

Д. Н. Зубарев.